Question

10．若函数f（x）=e^|x-a|（a∈R）满足f（1+x）=f（-x），且f（x）在区间[m，m+1]上是单调函数，则实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）=e^|x-a|=${e}^{|x-\frac{1}{2}|}$，则函数f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]上为减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）为增函数，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：函数f（x）=e^|x-a|（a∈R）的图象关于直线x=a对称，
若函数f（x）满足f（1+x）=f（-x），
则函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
即a=$\frac{1}{2}$，
故函数f（x）=e^|x-a|=${e}^{|x-\frac{1}{2}|}$，
故函数f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]上为减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）为增函数，
若f（x）在区间[m，m+1]上是单调函数，
则m≥$\frac{1}{2}$，或m+1≤$\frac{1}{2}$，
解得：m∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的对称性，难度中档．