Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f（2）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=（　　）

• A． 1
• B． 2014
• C． 0
• D． -2014

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质进行条件转化注意运用赋值法，即可得到f（x）的最小正周期是4，运用周期性即可得到结论．

解答 解：∵y=f（x+1）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），
∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）
即有f（-x-1）=f（x+1），
则f（-x-1）=-f（-x+1），
即f（x+1）=-f（x-1），即有f（x+2）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则f（x）的周期是4，
由于f（2）=1，则f（2）=-f（0）=1，则f（0）=-1，
又f（-1）=f（1），f（-1）=-f（1），则f（1）=0，
又f（3）=-f（1）=0，f（4）=f（0）=-1，
则有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0+1+0+（-1）=0，
由于f（2014）=f（4×503+2）=f（2）
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=0×503+[f（1）+f（2）+f（3）]=1．
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质推出函数f（x）是周期为4的周期函数是解决本题的关键．