Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1．
（1）若a＞0，不等式f（x）≥0的解集为A，1∉A，2∈A，求a+b的取值范围；
（2）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，求a的值．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数的零点

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由a＞0，不等式f（x）≥0的解集为A，1∉A，2∈A，可得a-b+1＜0，4a-2b+1≥0，即可解出．
（2）a为整数，b=a+2，可得f（x）=ax²-（a+2）x+1，由于函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，可得f（-2）f（-1）≤0或△=（a+2）²-4a=0，a为整数，解出即可．

解答： 解：（1）∵a＞0，不等式f（x）≥0的解集为A，1∉A，2∈A，
∴a-b+1＜0，4a-2b+1≥0，
∴-3a+3b-3＞0，4a-2b+1≥0，
∴a+b＞2．
（2）∵a为整数，b=a+2，
∴f（x）=ax²-（a+2）x+1，
∵函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，
∴f（-2）f（-1）≤0或△=（a+2）²-4a=0，a为整数，
解得a=-1或a∈∅．
∴a=-1．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．