Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=

1

3

，前n项和为S_n，满足s₁、2s₂、3s₃成等差数列；
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）），数列b_n的前n项和为T_n，求证：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得4•

a1(1-q2)

1-q

=a1+3•

a1(1-q3)

1-q

，由此求出a_n=（

1

3

）ⁿ．
（Ⅱ）b_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）=2-（

1

1+( 1 3 )n

+

1

1-( 1 3 )n+1

）=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

，从而bn＜

1

3n

-

1

3n+1

，由此能证明T_n＜

1

3

．

解答： （Ⅰ）解：∵S₁、2S₂、3S₃成等差数列，
∴4S₂=S₁+3S₃，
当q=1时，不符合，
当q≠1时，得4•

a1(1-q2)

1-q

=a1+3•

a1(1-q3)

1-q

，
由a₁=

1

3

，解得q=

1

3

或q=0（舍），
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
（Ⅱ）证明：b_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）=2-（

1

1+( 1 3 )n

+

1

1-( 1 3 )n+1

）
=2-

1

1+( 1 3 )n

-

1

1-( 1 3 )n+1

=1-

1

1+( 1 3 )n

+1-

1

1-( 1 3 )n+1

=（1-

3n

3n+1

）+（1-

3n+1

3n+1-1

）
=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

，
由

1

3n+1

＜

1

3n

，

1

3n+1-1

＞

1

3n+1

，得

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，
∴bn＜

1

3n

-

1

3n+1

，
从而T_n＜（

1

3

-

1

32

）+（

1

32

-

1

33

）+…+（

1

3n

-

1

3n+1

）=

1

3

-

1

3n+1

＜

1

3

，
∴T_n＜

1

3

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．