Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心为

 

．
（2）若函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，则

9

i=1

g（

i

10

）=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：正确求出对称中心，利用对称中心的性质即可求出．

解答： 解：（1）依题意，f'（x）=3x²-6x+3，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=1，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐点”坐标是（1，）．
∴函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心为（1，1）；
故答案为：（1，1）；
（2）由题意，g′（x）=x²-x+3，∴g^″（x）=2x-1，
令g^″（x）=0，解得x=

1

2

，
又g（

1

2

）=1，∴函数g（x）的对称中心为（

1

2

，1），
∴g（

1

10

）+g（

9

10

）=2，g（

2

10

）+g（

8

10

）=2，
  g（

3

10

）=g（

7

10

）=2，g（

4

10

）+g（

6

10

）=2，
∴

9

i=1

g(

i

10

)=4×2+1=9，
故答案为：9．

点评：正确求出对称中心并掌握对称中心的性质是解题的关键．