Question

若一个圆锥的表面积为π，则它的体积最大值是

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，结合已知求出高h关于半径r的表达式，代入圆锥体积公式，结合基本不等式，可得答案．

解答： 解：设圆锥的底面半径为r，高为h，
则母线为

r2+h2

则圆锥的表面积S=πr

r2+h2

+πr²=π，
解得h=

1-2r2

r

∴圆锥的体积V=

1

3

•πr²•

1-2r2

r

=

π

3

•

2r2(1-2r2) 2

≤

2

12

π
当r²=

1

4

，即r=

1

2

时，该圆锥的体积有最大值

2

12

π
故答案为：

2

12

π．

点评：本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积，基本不等式，难度中档，其中得到体积的表达式是解答的关键．