Question

已知集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断,集合中元素个数的最值

专题：集合

分析：（1）若A中只有一个元素，表示方程ax²+2x+1=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，
（2）A为空集，表示方程ax²+2x+1=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．

解答： 解：（1）若A中只有一个元素，则方程ax²-3x+2=0有且只有一个实根，
当a=0时方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-

1

2

当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1
（2）若A是空集，
则方程ax²-3x+2=0无解
此时△=4-4a＜0，解得：a＞1
（3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1

点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax²+2x+1=0根的情况，是解答本题的关键．