Question

几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量t（x）（件）与销售价格x（元/件）（x∈N^*）之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t（x）=-a（x+5）²+10050；②当60≤x≤70时，t（x）=-100x+7600．设该店月利润为M（元），月利润=月销售总额-月总成本．
（1）求M关于销售价格x的函数关系式；
（2）求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用x=60时，t（60）=1600，求出a，可得M关于销售价格x的函数关系式；
（2）利用分段函数，分别求最值，即可求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．

解答： 解：（1）当x=60时，t（60）=1600，代入t（x）=-a（x+5）²+10050，
解得a=2．            …（2分）
∴M（x）=

-2x3+48x2+10680x-360000，34≤x＜60，x∈N* -100x2+1100x-278400，60≤x≤70，x∈N*

 …（4分）
（2）设g（u）=（-2u²-20u+10000）（u-34）-20000，34≤u＜60，u∈R，则g′（u）=-6（u²-16u-1780）．
令g′（u）=0，解得u₁=8-2

461

（舍去），u₂=8+2

461

∈（50，51]．…（7分）
当34＜u＜50时，g′（u）＞0，g（u）单调递增；
当51＜u＜60时，g′（u）＜0，g（u）单调递减．   …（10分）
∵x∈N^*，M（50）=44000，M（51）=44226，∴M（x）的最大值为44226．…（12分）
当60≤x≤70时，M（x）=100（-x²+110x-2584）-20000单调递减，
故此时M（x）的最大值为m（60）=21600．       …（14分）
综上所述，当x=51时，月利润M（x）有最大值44226元．    …（15分）
答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件．  …（16分）

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查导数知识的运用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．