Question

17．已知曲线E上的任意点到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）点D的坐标为（2，0），若P为曲线E上的动点，求$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PF}$的最小值；
（Ⅲ）设点A为y轴上异于原点的任意一点，过点A作曲线E的切线l，直线x=3分别与直线l及x轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点A在y轴上运动（点A与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义得出轨迹方程；
（2）设出P点坐标（x，y），将$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PF}$表示为x（或y）的函数，根据函数性质求出最小值；
（3）设A坐标（0，b）和直线l的斜率k，根据相切得出k，b的关系，求出M，N坐标得出圆C的圆心和半径，利用切线的性质得出AB的长．

解答 解：（I）由题意可知曲线E为以F为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，
∴曲线E的方程为y²=4x．
（II）设P（$\frac{{y}^{2}}{4}$，y），则$\overrightarrow{PD}=（2-\frac{{y}^{2}}{4}，-y）$，$\overrightarrow{PF}=（1-\frac{{y}^{2}}{4}，-y）$，
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PF}$=（2-$\frac{{y}^{2}}{4}$）（1-$\frac{{y}^{2}}{4}$）+y²=$\frac{1}{16}$（y²+2）²+$\frac{7}{4}$．
∵y²≥0，
∴当y²=0时，$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PF}$取得最小值2．
（III）设A（0，b），
显然x=0为抛物线E的一条切线，此时，x=0与x=3无交点，
故点M不存在，不符合题意，
设抛物线E的另一条切线l的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
∵直线l与曲线C相切，
∴△=（2kb-4）²-4k²b²=0，即kb=1．∴k=$\frac{1}{b}$．
∴直线l的方程为y=$\frac{1}{b}x+b$，
令x=3得y=b+$\frac{3}{b}$．
∴M（3，b+$\frac{3}{b}$），N（3，0）．
∴以MN为直径的圆C的圆心为C（3，$\frac{b}{2}$+$\frac{3}{2b}$），半径r=|$\frac{b}{2}+\frac{3}{2b}$|，
∴AC²=9+（$\frac{3}{2b}$-$\frac{b}{2}$）²．
∵AB是圆C的切线，∴AB²=AC²-BC²=AC²-r²=6．
∴AB=$\sqrt{6}$．
即点A在y轴上运动（点A与原点不重合）时，线段AB的长度不发生变化．

点评 本题考查了抛物线的定义，向量的数量积运算，直线与圆锥曲线的关系，属于中档题．