Question

11．已知圆C：x²+y²-4x-6y+3=0，直线l：mx+2y-4m-10=0（m∈R）．当l被C截得的弦长最短时，m=2．

Answer 1

分析 由题意可得直线l经过定点A（4，5）．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有K_CA•K_l=-1，再利用斜率公式求得m的值．

解答 解：圆C：x²+y²-4x-6y+3=0，即（x-2）²+（y-3）²=10的圆心C（2，3）、半径为$\sqrt{10}$，
直线l：mx+2y-4m-10=0，即 m（x-4）+（2y-10）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4=0}\\{2y-10=0}\end{array}\right.$，求得x=4，y=5，故直线l经过定点A（4，5）．
要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，
故有K_CA•K_l=-1，即$\frac{5-3}{4-2}$•（-$\frac{m}{2}$）=-1，求得m=2，
故答案为2．

点评 本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，属于基础题．