Question

已知定义在R上的函数f（x）满足条件：
①对任意x，y都有f（x）+f（y）=1+f（x+y）；
②对所有非0实数x，f（x）=xf（

1

x

）．
（1）求证：对任意实数x，f（x）+f（-x）=2；
（2）求函数f（x）解析式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=1，再令y=-x，即可得证；
（2）当x≠0时，f（x）=xf（

1

x

），则xf（

1

x

）+（-x）f（-

1

x

）=f（x）+f（-x）=2，即有f（

1

x

）-f（-

1

x

）=

2

x

，①又又f（

1

x

）+f（-

1

x

）=2，②，联立①②，即可求得f（x）的解析式．

解答： （1）证明：由于对任意x，y都有f（x）+f（y）=1+f（x+y），
令x=y=0，得，2f（0）=1+f（0），即f（0）=1，
令y=-x，则f（x）+f（-x）=1+f（0）=2，
则对任意实数x，f（x）+f（-x）=2；
（2）解：由于f（0）=1，f（x）+f（-x）=2，
当x≠0时，f（x）=xf（

1

x

），
则xf（

1

x

）+（-x）f（-

1

x

）=f（x）+f（-x）=2，
即有f（

1

x

）-f（-

1

x

）=

2

x

，①
又f（

1

x

）+f（-

1

x

）=2，②
由①②解得，f（

1

x

）=1+

1

x

，
即有f（x）=x+1，对于x=0也成立．
故函数f（x）的解析式为：f（x）=x+1．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键，考查函数解析式的求法：函数方程法，属于中档题．