Question

13．已知函数f（x）=2^x+2^-x．（x∈R）
（1）用单调函数定义证明f（x）在[0，+∞）单调递增；
（2）记f（x）在闭区间[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

Answer 1

分析 （1）设0＜x₁＜x₂，代入f（x₁）-f（x₂）化简判断符号，利用单调性的定义证明；
（2）设m=2^x，则y=m+$\frac{1}{m}$（2^t≤m≤2^t+1），分类讨论，利用函数的单调性，即可求g（t）的表达式．

解答 解：（1）证明：设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-${2}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）（1-{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}）}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为[0，+∞）上的增函数． 
（2）设m=2^x，则y=m+$\frac{1}{m}$（2^t≤m≤2^t+1），
t＜-1，函数在[2^t，2^t+1]上单调递减，g（t）=2^t+1+$\frac{1}{{2}^{t+1}}$，
-1≤t≤0，g（t）=2，
t＞0，函数在[2^t，2^t+1]上单调递增，g（t）=2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{t+1}+\frac{1}{{2}^{t+1}}，t＜-1}\\{2，-1≤t≤0}\\{{2}^{t}+\frac{1}{{2}^{t}}，t＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数单调性的证明与应用，其中熟练掌握定义法证明函数单调性的方法和步骤是解答的关键．