Question

已知函数f（x）=e^x（x+a）-x²-bx，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为2x+y-1=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间，并求f（x）的极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为2x+y-1=0，建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（x+a）-x²-bx，
∴f′（x）=e^x（x+a+1）-2x-b，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为2x+y-1=0，
∴f（0）=1，f′（0）=-2
∴a=1，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^x（x+1）-x²-4x，f′（x）=（x+2）（e^x-2），
令f′（x）=0，得x=ln2或x=-2
∴x∈（-∞，-2）∪（ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（-2，ln2）时，f′（x）＜0
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（ln2，+∞），单调减区间是（-2，ln2）
当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4-e^-2．

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．