Question

4．某商场对A商品近30天的日销售量y（件）与时间t（天）的销售情况进行整理，得到如下数据统计分析，日销售量y（件）与时间t（天）之间具有线性相关关系

时间（t）	2	4	6	8	10
日销售量（y）	38	37	32	33	30

（1）请根据表提供的数据，用最小二乘法原理求出y关于t的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$t+a
（2）已知A商品近30天内的销售价格Z（元）与时间t（天）的关系为：z=$\left\{\begin{array}{l}{-t+100，（20≤t≤30，t∈N）}\\{t+20，（0＜t＜20，t∈Z）}\end{array}\right.$
根据（1）中求出的线性回归方程，预测t为何值时，A商品的日销售额最大（参考公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}\overline{t}$）

Answer 1

分析 （1）根据题意，计算$\overline{t}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，即可写出线性回归方程；
（2）写出日销售额函数L，计算函数L的最大值即可．

解答 解：（1）根据题意，计算$\overline{t}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（38+37+32+33+30）=34；    …（1分）
$\sum_{i=1}^{5}$t_iy_i=2×38+4×37+6×32+8×33+10×30=980，
$\sum_{i=1}^{5}$${{t}_{i}}^{2}$=2²+4²+6²+8²+10²=220，…（3分）
所以回归系数为：
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$=$\frac{980-5×6×34}{220-5{×6}^{2}}$=-1，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}\overline{t}$=34-（-1）×6=40，
故所求的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=-t+40；         …（6分）
（2）由题意日销售额为
L=$\left\{\begin{array}{l}{（t+20）（-t+40），0＜t＜20，t∈N}\\{（-t+100）（-t+40），20≤t≤30，t∈N}\end{array}\right.$；    …（7分）
当0＜t＜20，t∈N时，
L=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900；
所以当t=10时，L_max=900（元）；         （9分）
当20≤t≤30，t∈N时，
L=（-t+100）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900；
所以当t=20时，L_max=1600（元）；
综上所述，估计当t=20天时，A商品日销售额最大值为1600元．  …（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了分段函数的应用问题，是中档题．