Question

（10分）已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）在x=-1时取到最小值0，且f（0）=1，g（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

．
（1）求g（2）+g（-2）的值；
（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）上的最小值．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数的性质求出二次函数f（x）的表达式即可求g（2）+g（-2）的值；
（2）根据二次函数对称轴和区间之间关系即可得到结论．

解答： 解：∵已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）在x=-1时取到最小值0，且f（0）=1，
∴对称轴x=-

b

2a

=-1，即b=2a，
且判别式△=b²-4ac=0，
即4a²-4ac=0，即a=c，
∵f（0）=c=1，
∴a=c=1，b=2，即f（x）=x²+2x+1，
则g（x）=

x2+2x+1， x＞0 -x2-2x-1， x＜0

．
则g（2）+g（-2）=f（2）-f（-2）=4+4+1+（4+4+1）=10．
（2）∵f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴二次函数的对称轴为x=-1．
若t≥-1，此时f（x）在区间[t，t+2]上单调递增，则最小值为f（t）=（t+1）²，
当t+2≤-1，即t≤-3时，此时f（x）在区间[t，t+2]上单调递减，则最小值为f（t+2）=（t+3）²，
若t≤-1≤t+2，即-3＜t＜-1时，最小值为f（-1）=（-1+1）²=0，
综上函数的最小值为

(t+3)2， t≤-3 0， -3＜t＜-1 (t+1)2， t≥-1

．

点评：本题主要考查分段函数的应用以及二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数单调性和对称轴之间的关系．