Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log a

1

1-x

．
①当0＜a＜1时，解不等式2f（x）+g（x）≥0；
②当a＞1，且x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：①由题意可得，要解的不等式即 loga

(x+1)2

-x+1

≥0，故有

x+1＞0 -x+1＞0 0＜ (x+1)2 -x+1 ≤1

，由此求得不等式的解集．
②由题意可得 loga

(x+1)2

-x+1

 的最小值大于或等于m，即

(x+1)2

-x+1

≥a^m．利用函数y=

(x+1)2

-x+1

的单调性求得

(x+1)2

-x+1

取得最小值为1，可得1≥a^m，由此求得m的取值范围．

解答： 解：①由题意知g（x）=-log_a（-x+1），当0＜a＜1时，不等式2f（x）+g（x）≥0，即2log_a（x+1）-log_a（-x+1）≥0，
即 loga

(x+1)2

-x+1

≥0，∴

x+1＞0 -x+1＞0 0＜ (x+1)2 -x+1 ≤1

，求得-1＜x≤0，故不等式的解集为（-1，0]．
②当a＞1，且x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立，即 loga

(x+1)2

-x+1

≥m恒成立．
故 loga

(x+1)2

-x+1

 的最小值大于或等于m，即

(x+1)2

-x+1

≥a^m．
由于函数y=

(x+1)2

-x+1

在[0，1）上是增函数，故当x=0时，y=

(x+1)2

-x+1

取得最小值为1，∴1≥a^m，解得m≤0．

点评：本题主要考查对数不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．