题目内容
函数f（x）=xcos2x在区间[0，3π]上的零点个数为（ ）
| A、5 | B、6 | C、7 | D、8 |
考点：函数零点的判定定理
专题：函数的性质及应用
分析：本题可以分类讨论，从而研究一个代数方程和一个三角方程的根的个数，得到原函数的零点个数，得到本题结论．
解答：
解：∵函数f（x）=xcos2x，
∴令f（x）=0，
∴x=0或cos2x=0，
当cos2x=0时，
2x=kπ+
，k∈Z，
∴x=
+
，k∈Z．
∵x∈[0，3π]，
∴x可取
，
，
，
，
，
．
∴xcos2x=0，x∈[0，3π]时，有：
x=0，
，
，
，
，
，
．共7 个解．
即函数f（x）=xcos2x在区间[0，3π]上的零点个数为7．
故答案为C．
∴令f（x）=0，
∴x=0或cos2x=0，
当cos2x=0时，
2x=kπ+
| π |
| 2 |
∴x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 4 |
∵x∈[0，3π]，
∴x可取
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
| 9π |
| 4 |
| 11π |
| 4 |
∴xcos2x=0，x∈[0，3π]时，有：
x=0，
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
| 9π |
| 4 |
| 11π |
| 4 |
即函数f（x）=xcos2x在区间[0，3π]上的零点个数为7．
故答案为C．
点评：本题考查了三角方程根的个数和分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题．
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