Question

已知a，b都是正实数，且a+b=1
（Ⅰ）求证：

1

a

+

1

b

≥4；      
（Ⅱ）求(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用基本不等式的性质即可得出；
（Ⅱ）利用基本不等式的性质即可得出．

解答： （Ⅰ）证明：

1

a

+

1

b

=

a+b

a

+

a+b

b

=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a • a b

=4．

（Ⅱ）解：(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2≥2×

(a+ 1 a +b+ 1 b )2

4

，
即(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2≥

(1+ 1 ab )

2

2，
又∵

a+b

2

≥

ab

得0＜ab≤

1

4

，
即

1

ab

≥4，
∴1+

1

ab

≥5．
∴(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2≥

25

2

当且仅当a=b=

1

2

上式等号成立．

点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．