Question

如图，Rt△ABC的三个顶点都在给定的抛物线x²=2py（p＞0）上，且斜边AB∥x轴，则斜边上的高|CD|=（　　）

• A、p
• B、2p
• C、

  p

  2

• D、

  p

  3

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A(x1，

x 2 1

2p

)，由于斜边AB∥x轴，可得B(-x1，

x 2 1

2p

)．设C(x2，

x 2 2

2p

)．由于AC⊥BC，可得k_AC•k_BC=-1，化简即可得出．

解答：解：设A(x1，

x 2 1

2p

)，∵斜边AB∥x轴，∴B(-x1，

x 2 1

2p

)．
设C(x2，

x 2 2

2p

)．
∵AC⊥BC，
∴k_AC•k_BC=-1，
∴

x 2 1 - x 2 2 2p

x1-x2

×

x 2 2 - x 2 1 2p

x1+x2

=-1，
化为

x 2 1

2p

-

x 2 2

2p

=2p．
∴斜边上的高|CD|=2p．
故选：B．

点评：本题考查了抛物线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．