Question

曲线y=x²+1在点（1，2）处的切线为l，则直线l上的任意点P与圆x²+y²+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是（　　）

• A、

  4 5

  5

  -1
• B、

  2 5

  5

  -1
• C、

  5

  -1
• D、2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,点到直线的距离公式

专题：导数的综合应用

分析：利用导数求出曲线y=x²+1在点（1，2）处的切线方程，化圆的一般方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离减去圆的半径得答案．

解答：解：由y=x²+1，得y′=2x，
∴y′|_x=1=2，
∴曲线y=x²+1在点（1，2）处的切线l的方程为：y-2=2（x-1），
即2x-y=0．
又圆x²+y²+4x+3=0的标准方程为（x+2）²+y²=1．
圆心坐标为（-2，0），半径为1，
∴圆心到直线l的距离为

|-2×2|

5

=

4 5

5

，
则直线l上的任意点P与圆x²+y²+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是

4 5

5

-1．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，是中档题．