Question

19．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=$\sqrt{6}$，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据余弦定理求出BD=$\sqrt{3}$，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．

解答 证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，
∵G是BC的中点，
∴OG∥DC，且OG=$\frac{1}{2}$DC=1，
又∵EF∥AB，AB∥DC，
∴EF∥OG，且EF=OG，
即四边形OGEF是平行四边形，
∴FG∥OE，
∵FG?平面BED，OE?平面BED，
∴FG∥平面BED；
（2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，
由余弦定理可得BD=$\sqrt{3}$，仅而∠ADB=90°，
即BD⊥AD，
又∵平面AED⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面AED，
∵BD?平面BED，
∴平面BED⊥平面AED．
（Ⅲ）∵EF∥AB，
∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，
过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，
又平面BED∩平面AED=ED，
由（2）知AH⊥平面BED，
∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，
在△ADE，AD=1，DE=3，AE=$\sqrt{6}$，由余弦定理得cos∠ADE=$\frac{2}{3}$，
∴sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴AH=AD•$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
在Rt△AHB中，sin∠ABH=$\frac{AH}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴直线EF与平面BED所成角的正弦值$\frac{\sqrt{5}}{6}$

点评 本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．