Question

9．已知函数f（x）=e^x-mx²-2x
（1）若m=0，讨论f（x）的单调性；
（2）若m＜$\frac{e}{2}$-1时，证明：当x∈[0，+∞）时，f（x）＞$\frac{e}{2}$-1．

Answer 1

分析 （1）当m=0时，f′（x）=e^x-2，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．
（2）求出f′（x）=e^x-2mx-2，f''（x）=${e}^{x}-2m＞{e}^{x}-2•\frac{e-2}{2}$=e^x-（e-2）．利用导数性质求出f（x）_min=f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-\frac{1}{2}{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}$，令g（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2}x{e}^{x}-x$，x∈（0，1），则${g}^{'}（x）=\frac{1}{2}{e}^{x}-\frac{1}{2}x{e}^{x}-1$，由此能证明f（x）＞$\frac{e}{2}-1$．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）当m=0时，f（x）=e^x-2x．
f′（x）=e^x-2，令f′（x）＞0，得x＞ln2．
令f′（x）＜0，得x＜ln2，
∴f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，f（x）在（ln2，+∞）上单调递增．   …（4分）
证明：（2）∵函数f（x）=e^x-mx²-2x，
∴f′（x）=e^x-2mx-2，
f''（x）=${e}^{x}-2m＞{e}^{x}-2•\frac{e-2}{2}$=e^x-（e-2）．
当x∈[0，+∞）时，e^x≥1≥e-2，
故f′（x）＞0，故f′（x）单调递增．
又f′（0）=1-2=-1＜0，${f}^{'}（1）=e-2m-2＞e-2•（\frac{e}{2}-1）-2=0$，
故存在唯一的x₀∈（0，1），使得f′（x₀）=0，即${e}^{{x}_{0}}-2m{x}_{0}-2=0$，
且当x∈（0，x₀）时，f′（x）＜0，故f（x）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）单调递增．
故f（x）_min=f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-m{{x}_{0}}^{2}$-2x₀．   …（7分）
因为x=x₀是方程${e}^{{x}_{0}}-2m{x}_{0}-2=0$的根，故m=$\frac{{e}^{{x}_{0}}-2}{2{x}_{0}}$．
故f（x）_min=${e}^{{x}_{0}}-\frac{{e}^{{x}_{0}}-2}{2{x}_{0}}{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}$=${e}^{{x}_{0}}-\frac{1}{2}{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}$．   …（9分）
令g（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2}x{e}^{x}-x$，x∈（0，1），
${g}^{'}（x）=\frac{1}{2}{e}^{x}-\frac{1}{2}x{e}^{x}-1$，${g}^{''}（x）=-\frac{1}{2}x{e}^{x}$＜0．
故g′（x）在（0，1）上单调递减，故${g}^{'}（x）＜{g}^{'}（0）=-\frac{1}{2}＜0$，
故g（x）在（0，1）上单调递减，∴g（x）＞g（1）=$\frac{e}{2}-1$，故f（x）＞$\frac{e}{2}-1$． …（12分）

点评 本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式的证明，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．