Question

19．二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2x}$）ⁿ的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 根据二项式展开式中所有项的二项式系数和是2ⁿ，求出n的值；再利用二项式展开式的通项公式求展开式中的常数项．

解答 解：二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2x}$）ⁿ的展开式中所有项的二项式系数之和是
2ⁿ=64，
解得n=6；
∴二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2x}$）⁶展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{6-r}$•${（-\frac{1}{2x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=2；
∴展开式中的常数项为：
T₂₊₁=（-1）²•${C}_{6}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{15}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了二项式系数和与展开式通项公式的应用问题，是基础题．