Question

8．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线l，交椭圆于A、B两点，记△AOF的面积为S₁，△BOF的面积为S₂，当S₁=2S₂时，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由双曲线的渐近线方程及斜率公式，即可求得a²=3b²，c=2$\sqrt{2}$，即a²+b²=8，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及y₁=-2y₂，即可求得t的值，分别求得y₁y₂，x₁x₂，利用向量数量积的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

解答 解：（1）由一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，则$\frac{b}{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a²=3b²，
由2c=4$\sqrt{2}$．c=2$\sqrt{2}$，则a²+b²=8，
解得：a²=8，b²=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）可知：F（2，0），直线AB的方程：x=ty+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（t²+3）y²+4ty-2=0，
y₁+y₂=-$\frac{4t}{{t}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{2}{{t}^{2}+3}$，
由S₁=2S₂时，则y₁=-2y₂时，解得：t²=$\frac{1}{5}$，
将t²=$\frac{1}{5}$，代入y₁y₂=-$\frac{5}{8}$，
x₁x₂=（ty₁+2）（ty₂+2）=t²y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4，
=$\frac{27}{8}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{27}{8}$-$\frac{5}{8}$=$\frac{11}{4}$，得：
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．