Question

14．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果点A的纵坐标为$\frac{3}{5}$，点B的横坐标为$\frac{5}{13}$，求cos（α-β）；
（2）已知点C（2$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=2，求α

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的定义与和差公式即可得出．
（2）利用三角函数求值、和差公式、数量积运算性质即可的．

解答 解：（1）∵点A的纵坐标为$\frac{3}{5}$，点B的横坐标为$\frac{5}{13}$，
∴$sinα=\frac{3}{5}，cosβ=\frac{5}{13}$，
∵α，β为锐角，∴$cosα=\frac{4}{5}$，$sinβ=\frac{12}{13}$，
∴$cos（{α-β}）=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{56}{65}$，
（2）∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$2\sqrt{3}cosα$-2sinα=$4cos（α+\frac{π}{6}）$，
∴$4cos（{α+\frac{π}{6}}）=2$，
∴$cos（α+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∵$α+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$，∴$α+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，∴$α=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了三角函数的定义、和差公式、三角函数求值、和差公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．