Question

己知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，斜率为1的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线过点F（1，0），求线段MN的长；
（Ⅲ）若直线l过点（m，0），且以MN为直径的圆恰过原点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，求出c，a，从而可得b的值，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）题意，直线l的方程为：y=x-1，代入椭圆方程，可得7x²-8x-8=0，利用弦长公式，即可求线段MN的长；
（Ⅲ）设直线l的方程为y=x-m，代入椭圆方程，消去y，整理得7x²-8mx+4m²-12=0，以MN为直径的圆恰过原点，可得OM⊥ON，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理，即可求直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意：c=1，a=2，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                            （4分）
（Ⅱ）由题意，直线l的方程为：y=x-1，代入椭圆方程，可得7x²-8x-8=0，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|MN|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

2

•

( 8 7 )2+4• 8 7

=

24

7

．             （6分）
（Ⅲ）设直线l的方程为y=x-m，代入椭圆方程，消去y，整理得7x²-8mx+4m²-12=0．
∵直线l与椭圆C交于不同两点M，N，
∴△=64m²-4×7（4m²-12）＞0
解得：-

7

＜m＜

7

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8

7

m，x₁x₂=

4m2-12

7

，
∴y₁y₂=

3m2-12

7

，
∵以线段MN为直径的圆恰好过原点，所以OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即

4m2-12

7

+

3m2-12

7

=0
解得m=±

2 42

7

．
∴所求直线l的方程为y=x±

2 42

7

．                              （10分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．