Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，又a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的公差；
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式求出a_n，由等比中项的性质列出方程，求出d的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_n，代入b_n=

1

anan+1

化简，由裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
因为a₁=1，所以a_n=1+d（n-1）…（1分）
又a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列，则

a

2 2

=a1a5…（3分）
所以（1+d）²=1×（1+4d），解得d=2或d=0（舍 …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=1+2（n-1）=2n-1，
所以bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（7分）
则Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（10分）

点评：本题考查等差数列的通项公式，等比中项的性质，以及裂项相消法求数列的前n项和．