Question

已知函数f（x）=log₂（-4^x+5•2^x+1-16）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[2，log₂7]上的值域．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）的解析式可得-4^x+5•2^x+1-16＞0，即（2^x-2）（2^x-8）＜0，求得2^x的范围，可得1x的范围，从而得到函数的定义域．
（2）根据x∈[2，log₂7]，可得2^x的范围，从而求得-（2^x-2）（2^x-8）的范围，由此求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₂（-4^x+5•2^x+1-16）=log2[-(2x-2)(2x-8)]，∴-4^x+5•2^x+1-16＞0，
即（2^x-2）（2^x-8）＜0，可得 2＜2^x＜8，求得1＜x＜3，故函数的定义域为（1，3）．
（2）∵x∈[2，log₂7]，∴2^x∈[4，7]，∴-（2^x-2）（2^x-8）∈[5，9]，
∴f（x）的值域为[log₂5，2log₂3]．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，属于基础题．