Question

已知是定义在上的奇函数，当时，，则，在上所有零点之和为（   ）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

B

试题分析：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）．又∵函数g（x）=xf（x）-1，∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），∴函数g（x）是偶函数，∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，∴函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和．由0＜x≤2时，f（x）=2^|x-1|-1，即，∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1，又∵当x＞2时，f（x）=f(x-2)，∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[]，函数f（x）在（4，6]上的值域为[]，函数f（x）在（6，8]上的值域为[]，当且仅当x=8时，f（x）=，函数f（x）在（8，10]上的值域为[]，当且仅当x=10时，f（x）=，故f（x）＜在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上无零点，同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上无零点，依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点，综上函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为8，故选B
点评：此类问题综合了函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理