Question

17．已知椭圆的焦点为F₁（0，-4）和F₂（0，4）且点P（$\sqrt{5}$，-3$\sqrt{3}$）在椭圆上，那么椭圆的标准方程式：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=4，由a，b，c的关系和点P满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=4，即a²-b²=16，
又P在椭圆上，可得$\frac{27}{{a}^{2}}$+$\frac{5}{{b}^{2}}$=1．
解得a=6，b=2$\sqrt{5}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，运用椭圆的焦点和点满足椭圆方程，考查运算能力，属于基础题．