某城市居民月生活用水收费标准为$W(t)=\left\{{\begin{array}{l}{1.6t.}\\{2.7t.}\\{4.0t.}\end{array}}\right.$(t为用水量.单位:吨,W为水费.单位:元).从该市抽取100户居民的月均用水量的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)求这100户居民月均用水量的中位数及平均水费,(Ⅱ)连续10个月.每月从这100� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．某城市居民月生活用水收费标准为$W（t）=\left\{{\begin{array}{l}{1.6t，（{0≤t＜2}）}\\{2.7t，（{2≤t＜3.5}）}\\{4.0t，（{3.5≤t≤4.5}）}\end{array}}\right.$（t为用水量，单位：吨；W为水费，单位：元），从该市抽取100户居民的月均用水量的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求这100户居民月均用水量的中位数及平均水费；
（Ⅱ）连续10个月，每月从这100户中随机抽取一户，若抽到的用户当月所交水费少于9.45元，则对其予以奖励．设X为获奖户数，求X的数学期望．

分析（Ⅰ）由频率分布直方图求出月平均用水量的中位数，由此能求出平均水价．
（Ⅱ）依题意知连续10个月抽取的获奖户数X服从二项分布X～B（10，0.94），由此能求出X的数学期望．

解答解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，月平均用水量的中位数为2.02（t），
根据物价部门对城市居民月平均用水的定价为$W（t）=\left\{{\begin{array}{l}{1.60＜t＜2}\\{2.72≤t＜3.5}\\{4.03.5≤t≤4.5}\end{array}}\right.$，其中W（t）单位是元，t单位为吨．
知平均水价为：
[（0.08×0.25+0.16×0.75+0.30×1.25+0.44×1.75）×1.6+（0.50×2.25+0.28×2.75+0.12×3.25）×2.7+（0.08×3.75+0.04×4.25）×4]×0.5=5.0527．（元） …（6分）
（Ⅱ）依题意知这100户中所交水费价格少于9.45元，即每月用水量少于3.5吨．
这样的用户占94%，则每月从这100户中随机抽取1户居民获奖的概率为0.94，
则连续10个月抽取的获奖户数X服从二项分布X～B（10，0.94），
所以E（X）=10×0.94=9.4．…（12分）

点评本题考查中位数和平均数的求法，考查离散型机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．