Question

【题目】如图，四棱锥中，，，，，．

（Ⅰ）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；

（Ⅱ）证明：平面平面PBD；

（Ⅲ）求直线DC与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由，得是异面直线AB与PD所成角或所成角的补角，利用余弦定理能求出异面直线AB与PD所成角的余弦值；（Ⅱ）由勾股定理得，再由，得平面，由此能证明平面平面PBD；

（Ⅲ）由，得直线DC与平面PBD所成角即为AB与平面PBD所成角，过点A作，交PD于点H，连结BH，推导出是直线AB与平面PBD所成角，由此能求出直线DC与平面PBD所成角的正弦值。

解：（Ⅰ），

是异面直线AB与PD所成角或所成角的补角，

，，，平面，

取的中点，连结，则为正方形，，，

中，，，中，，

．

异面直线AB与PD所成角的余弦值为．

（Ⅱ）证明：中，，

由勾股定理得，

又，，平面PAD，

又平面PBD，平面平面PBD．

（Ⅲ），直线DC与平面PBD所成角即为AB与平面PBD所成角，

过点A作，交PD于点H，连结BH，

由（Ⅱ）知平面平面，平面平面，

又平面，平面，

为斜线AB在平面PBD内的射影，

是直线AB与平面PBD所成角，

中，，故中，，

直线DC与平面PBD所成角的正弦值为．