Question

【题目】求所有的正整数、、，使得是整数。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先证明一个引理.

引理 若、、是有理数，且也是有理数，则、、一定都是有理数.

引理的证明：注意到 ，

.

设.

则.

将上式两边平方得.

故是有理数.

同理，、也是有理数.

下面证明原题.

假设、、是满足条件的正整数.

又是整数，由引理知、、是有理数.

设，且，，.

则.

因此，能整除.

所以，.从而 ，

同理， ，

.

将式、、代入原表达式知是正整数.

得.

将式代入上式得，

同理.

注意到，分以下三种情况讨论.

（1）当时，，

由式、、知没有正整数解.

（2）当时，、、中必有一个等于1，另外两个等于2，此时，并不存在满足条件的、、.

（3）当时，不妨设.

则.

故或.

（i）若，则.此时，不存在满足条件的、、.

（ii）若，则，且.故或.

a)若，则，此时，不存在满足条件的、、.

b)若，则，存在满足条件的、、.

计算得，

，

.

所以，、、中一个为，另外两个均为.