Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为边长为的等边三角形，．

(1) 证明：平面 平面；

（2）求二面角的平面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取中点，利用等腰直角三角形可得，连，利用勾股定理可证明 ，结合可得平面，利用面面垂直的判定定理可得结果；（2）以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）△ACD中，，

由余弦定理可得，，故，

所以，且△ACD为等腰直角三角形．

取CD中点O，由AC=AD得，AO⊥CD

连PO，PA⊥CD，

所以CD⊥平面POA

所以CD⊥PO

又AO=1，PO=1，

所以，，

,

所以PO⊥平面ABCD

又PO平面PCD

所以平面PCD⊥平面ABCD．

（2）以O为原点，OD、OA、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设平面PAB的法向量，，

令，则，所以

同理，平面PBC的法向量

故，．

所以，二面角A-PB-C的平面角为90°．