Question

【题目】对于任意的复数，定义运算为．

（1）设集合{均为整数}，用列举法写出集合；

（2）若，为纯虚数，求的最小值；

（3）问：直线上是否存在横坐标、纵坐标都为整数的点，使该点对应的复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）根据题意得到，代入计算得到答案.

（2）根据计算法则得到，代入计算复数模，根据二次函数性质得到最值.

（3）假设存在这样的点，计算得到，讨论为奇数和为偶数两种情况，计算得到答案.

（1）均为整数，则，

，，，，，故.

（2），∵是纯虚数，∴且，

∴，∴，或时，的最小值为.

（3）假设存在这样的点，设该点对应的复数为，

则，

若为奇数，则，∴，；

若为偶数，则，∴，无解．

综上，存在这样的点，坐标为或.