Question

1．对任意实数x＞1，y＞$\frac{1}{2}$，不等式p≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立，则实数p的最大值为8．

Answer 1

分析 根据不等式p≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立，转化为求$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：设a=2y-1，b=x-1，
∵x＞1，y＞$\frac{1}{2}$，
∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=$\frac{1}{2}$（a+1），
则$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$=$\frac{（b+1）^{2}}{a}$+$\frac{（a+1）^{2}}{b}$≥2×$\frac{（a+1）（b+1）}{\sqrt{ab}}$=2×$\frac{ab+（a+b）+1}{\sqrt{ab}}$=2（$\sqrt{ab}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$+$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$）≥2×（2$\sqrt{\sqrt{ab}•\frac{1}{\sqrt{ab}}}$+$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$）=2（2+2）=8，
当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．
∴p≤8，
即p的最大值为8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法转化求函数的最小值，多次使用基本不等式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．