Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，前n项和S_n满足a_n+1=S_n+2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若b_n=2log₂a_n，对一切n∈N^*，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

＜t恒成立，求实数t的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的递推关系，建立方程组即可求出求数列{a_n}的通项公式．
（2）求出b_n=2log₂a_n的通项公式，利用裂项法求出数列{

1

bnbn+1

}的前n项和Sn，解不等式即可得到结论．

解答： 解：（1）由a_n+1=S_n+2，得到a_n=S_n-1+2，n≥2，
相减得：a_n+1=2a_n，
又a₁=2，a₂=4，有a₂=2a₁，
所以数列{a_n}是首项a₁=2，公比为2的等比数列，
故a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=2log₂a_n=2log₂2ⁿ=2n，
得到：

1

bnbn+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
故，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

4

[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

]=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

，
∴要使，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

＜t恒成立，
则t≥

1

4

，
故t的最小值为

1

4

．

点评：本题主要考查数列的通项公式和数列前n项和Sn的计算，以及数列与不等式的综合应用，利用裂项法是解决本题的关键．