Question

（1）设函数f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；
（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求

3

x

+

2

y

+

1

z

的最小值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a-

5

2

|，可得|a-

5

2

|≥a，由此解得a的范围．
（2）运用柯西不等式可得（x+2y+3z）（

3

x

+

2

y

+

1

z

）≥（

3

+2+

3

）²=16+8

3

，即可得出结论．

解答： 解：（1）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|≥|（x-

5

2

）-（x-a）|=|a-

5

2

|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a-

5

2

|≥a，
∴a-

5

2

≥a，或a-

5

2

≤-a，解得a≤

5

4

，故a的最大值为

5

4

．
（2）∵正数x，y，z满足x+2y+3z=1，
∴由柯西不等式可得（x+2y+3z）（

3

x

+

2

y

+

1

z

）≥（

3

+2+

3

）²=16+8

3

，
当且仅当x：y：z=3：

3

：1时，等号成立，
∴

3

x

+

2

y

+

1

z

的最小值为16+8

3

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．