Question

18．已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx-1）² 的图象与y=$\sqrt{x}$+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，1]∪[2$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （0，1]∪[3，+∞）
• C． （0，$\sqrt{2}$）∪[2$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （0，$\sqrt{2}$]∪[3，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx-1）² 为二次函数，在区间（0，$\frac{1}{m}$）为减函数，（$\frac{1}{m}$，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有$\frac{1}{m}$≥1，②、当m＞1时，有$\frac{1}{m}$＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．

解答 解：根据题意，由于m为正数，y=（mx-1）² 为二次函数，在区间（0，$\frac{1}{m}$）为减函数，（$\frac{1}{m}$，+∞）为增函数，
函数y=$\sqrt{x}$+m为增函数，
分2种情况讨论：
①、当0＜m≤1时，有$\frac{1}{m}$≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx-1）² 为减函数，且其值域为[（m-1）²，1]，
函数y=$\sqrt{x}$+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②、当m＞1时，有$\frac{1}{m}$＜1，
y=（mx-1）² 在区间（0，$\frac{1}{m}$）为减函数，（$\frac{1}{m}$，1）为增函数，
函数y=$\sqrt{x}$+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m-1）²≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m为正数，则m≥3；
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
故选：B．

点评 本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．