Question

15．设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=-1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x₀，y₀）（y₀＞0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过圆N与直线x=-1相切，推出点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径，说明点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，求出轨迹方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀），联立$\left\{\begin{array}{l}y-{y_0}=k（x-{x_0}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得$\frac{k}{4}{y^2}-y-k{x_0}+{y_0}=0$，利用相切关系，推出k，求解直线l的方程为$4x-2{y_0}y+{y_0}^2=0$．通过动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离$d=\frac{{|4a+{y_0}^2|}}{{\sqrt{16+4{y_0}^2}}}$．
利用动圆M的面积最小时，即d最小，然后求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为圆N与直线x=-1相切，所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径，
所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等．
所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，
所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀），
由$\left\{\begin{array}{l}y-{y_0}=k（x-{x_0}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得$\frac{k}{4}{y^2}-y-k{x_0}+{y_0}=0$，
又${y_0}^2=4{x_0}$，所以$\frac{k}{4}{y^2}-y-\frac{k}{4}{y_0}^2+{y_0}=0$，
因为直线l与曲线C相切，所以$△=1-k（-\frac{k}{4}{y_0}^2+{y_0}）=0$，解得$k=\frac{2}{y_0}$．
所以，直线l的方程为$4x-2{y_0}y+{y_0}^2=0$．
动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离$d=\frac{{|4a+{y_0}^2|}}{{\sqrt{16+4{y_0}^2}}}$．
当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a＞2时；$d=\frac{{|4a+{y_0}^2|}}{{\sqrt{16+4{y_0}^2}}}=\frac{{{y_0}^2+4a}}{{2\sqrt{{y_0}^2+4}}}$=$\frac{{{y_0}^2+4+4a-4}}{{2\sqrt{{y_0}^2+4}}}$=$\frac{{\sqrt{{y_0}^2+4}}}{2}+\frac{4a-4}{{2\sqrt{{y_0}^2+4}}}≥2\sqrt{a-1}$．
当且仅当${y_0}^2=4a-8$，即x₀=a-2时取等号，
所以当动圆M的面积最小时，a-x₀=2，
即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值．

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．