Question

设函数f（x）=2^x-4^x
（1）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性并用定义证明．
（2）若方程f（x）-b=0在[-2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）作差f（x₁）-f（x₂）=-（2 x1-2x2）（1-（2 x1+2x2））判断因式符号即可．
（2）求解可判断；[-2，-1]单调递增，[-1，2]单调递减，得出

b＜f(-1) b≥f(-2) b≥f(2)

即

b＜ 1 4 b≥ 3 16 b≥-12

，求解即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2^x-4^x，
∴设0≤x₁＜x₂≤1则1≤2 x1＜2x2≤2，
∴f（x₁）-f（x₂）=-（2 x1-2x2）（1-（2 x1+2x2））
∵2 x1-2x2＜0，1-（2 x1+2x2）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
断函数f（x）在[0，1]上的单调递减．
（2）设-2≤x₁＜x₂≤2则

1

4

≤2 x1＜2x2≤4，
∵f（x₁）-f（x₂）=-（2 x1-2x2）（1-（2 x1+2x2））
∴可判断；[-2，-1]单调递增，[-1，2]单调递减，
∵方程f（x）-b=0在[-2，2]上有两个不同的解，
∴

b＜f(-1) b≥f(-2) b≥f(2)

即

b＜ 1 4 b≥ 3 16 b≥-12

，
得出：

3

16

≤b＜

1

4

，
故实数b的取值范围：

3

16

≤b＜

1

4

，

点评：本题考查了函数的性质，求解最值，参变量的范围问题，属于中档题，难度较大．