Question

一动圆与两圆：x²+y²+4x+3=0和x²+y²-4x-5=0都外切，则动圆的圆心M的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：设所求圆的圆心坐标M（x，y），半径为r，由所求圆与两个圆都外切，可得|PC₁|=r+1，|PC₂|=r+3，即|MC₂|-|MC₁|=2，根据双曲线定义可知P点的轨迹为以C₁，C₂为焦点的双曲线，从而求得圆心M的轨迹方程．

解答： 解：x²+y²+4x+3=0即 （x+2）²+y² =1，（x-2）²+y² =9，
故两圆的圆心分别是C₁（-2，0）、C₂（2，0），半径分别为1和3．
设所求圆的圆心坐标M（x，y），半径为r，
∵所求圆与两个圆都外切，∴|PC₁|=r+1，|PC₂|=r+3，
即|MC₂|-|MC₁|=2，
根据双曲线定义可知P点的轨迹为以C₁，C₂为焦点的双曲线，
故有c=2；2a=2，a=1，b=

c2-a2

=

3

，
故圆心M的轨迹方程是 x²-3y²=1，
故答案为：x²-3y²=1．

点评：本题主要考查圆的标准方程，圆和圆相切的性质，双曲线的定义，属于基础题．