Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为8

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若k_AC•k_BD=-

1

2

．
①求

OA

•

OB

的范围；
②求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用离心率计算公式、菱形的面积计算公式、a²=b²+c²即可得出；
（2）（i）设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、数量积运算即可得出；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形及其四边形的面积公式即可得出．

解答： 解：（1）由已知可得：

c

a

=

2

2

，

1

2

•2a•2b=8

2

，c2+b2=a2，
于是c=2，b=2，a²=8，
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）当直线AB的斜率不存在时，

OA

•

OB

=2，∴

OA

•

OB

的最大值为2．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2+2y2=8

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）
=8（8k²-m²+4）＞0，
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．
∵koA•koB=kAC•kBD=-

1

2

，∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
∴y1y2=-

1

2

x1x2=-

2m2-8

1+2k2

=-

m2-4

1+2k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2•

2m2-8

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m2=

m2-8k2

1+2k2

，
∴-

m2-4

1+2k2

=

m2-8k2

1+2k2

，∴4k²+2=m²，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

2m2-8

1+2k2

-

m2-4

1+2k2

=

m2-4

1+2k2

=

4k2+2-4

1+2k2

=2-

4

1+2k2

，
∴-2≤

OA

•

OB

＜2，
因此，综上可得：

OA

•

OB

∈[-2，2]．
②设原点到直线AB的距离为d，则d=

|m|

1+k2

．
则S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

1+k2

|x2-x1|•

|m|

1+k2

=

|m|

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

|m|

2

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-8 1+2k2

=2

4k2-m2+4

，
又∵4k²-m²=-2，
∴S_△AOB=2

2

．
∴S_{四边形ABCD}=4S_△AOB=8

2

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率的计算公式、数量积运算、弦长公式和点到直线的距离公式及三角形四边形的面积公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．