Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知$B=\frac{π}{4}$，$asinB=\sqrt{3}bcosA$；
（1）求A的大小．
（2）若b=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简可得A的大小；
（2）利用正余弦定理求出a，c的值，即可得△ABC的面积．

解答 解：（1）由$asinB=\sqrt{3}bcosA$；
根据正弦定理，可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA．
∵0＜B＜π，∴sinB≠0．
可得：sinA=$\sqrt{3}$cosA，即$tanA=\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$B=\frac{π}{4}$，A=$\frac{π}{3}$，b=4
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
可得：a=$2\sqrt{6}$．
余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{16+{c}^{2}-24}{8c}$，
可得c=$2+2\sqrt{3}$
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=（1+$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．