Question

6．根据下列条件解三角形：
（1）A=30°，B=105°，c=$\sqrt{2}$；
（2）a=14，b=7$\sqrt{6}$，B=60°；
（3）b=47，c=38，C=110°；
（4）b=25，c=12，C=23°．

Answer 1

分析 利用正弦定理和内角和定理计算．

解答 解：（1）C=180°-A-B=45°，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
∴a=1，b=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{14}{sinA}=\frac{7\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴A=45°，或A=135°（舍）．
∴C=180°-A-B=75°，
再由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{7\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$，
解得c=7$\sqrt{3}$+7．
（3）∵b＞c，∴B＞C，即B＞110°，
∴A+B+C＞220°+C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，
∴三角形无解．
（4）由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{25}{sinB}=\frac{12}{sin23°}$，
解得sinB=0.81，∴B≈54.5°或B≈125.5°，
当B=54.5°时，A=180°-B-C=102.5°，
再由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{a}{sin102.5°}=\frac{12}{sin23°}$，
解得a≈30，
当B=125.5°时，A=180°-B-C=31.5°，
再由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{a}{sin31.5°}=\frac{12}{sin23°}$，
解得a≈16．

点评 本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．