Question

如图，在两块钢板上打孔，用顶帽呈半球形，钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一段每打出一个帽，使得与顶帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2（单位：mm）（加工中不计损失）．
（1）若钉身长度是顶帽长度的2倍，求铆钉的表面积；
（2）若每块钢板的厚底为12mm，求钉身的长度（结果精确到1mm）．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据图象结合圆柱和球的表面积公式即可求铆钉的表面积；
（2）根据体积公式即可求钉身的长度．

解答： 解：（1）设钉身的高为h，钉身的底面半径为r，钉帽的底面半径为R，
由题意可知圆柱的高h=2R=38，圆柱的侧面积S₁=2πrh=760π，
半球的表面积S₂=

1

2

×4πR2+πR2=1083π，
故铆钉的表面积S=S₁+S₂=760π+1083π=1843π．
（2）V₁=πr²h₁=100×24π=2400π，V₂=

1

2

×

4

3

πR3=

2

3

×193π=

13718π

3

，
设钉身的长度为l，则V₃=πr²•l=100πl，
由于V₃=V₁+V₂，
∴2400π+

13718π

3

=100πl，
解得l≈70mm．

点评：本题主要考查空间几何体的体积和表面积的计算，要求熟练掌握相应的表面积和体积公式．