Question

13．已知直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（ t 为参数），曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（r＞0，θ为参数）．
（1）当r=1时，求C ₁ 与C₂的交点坐标；
（2）点P 为曲线 C₂上一动点，当r=$\sqrt{2}$时，求点P 到直线C₁距离最大时点P 的坐标．

Answer 1

分析 （1）参数方程化为普通方程，即可求C ₁ 与C₂的交点坐标；
（2）利用圆的参数方程，结合点到直线的距离公式、三角函数公式，即可求点P 到直线C₁距离最大时点P 的坐标．

解答 解：（1）直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（ t 为参数）的普通方程为y=x-1，当r=1时，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（r＞0，θ为参数）的普通方程为x²+y²=1．
联立方程，可得C ₁ 与C₂的交点坐标为（1，0），（0，-1）；
（2）设P（$\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ$），则点P 到直线C₁距离d=$\frac{|\sqrt{2}cosθ-\sqrt{2}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2cos（θ+\frac{π}{4}）-1|}{\sqrt{2}}$
当cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1，即θ=$\frac{3π}{4}$+2kπ（k∈Z）时，d_max=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，此时P（-1，1）．

点评 本题考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．