题目内容
已知a＜2，函数f（x）=（x2+ax+a）ex
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的极大值是6•e-2，求a的值．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的极大值是6•e-2，求a的值．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）当a=1时，f′（x）=（x2+3x+2）ex，由此利用导数性质能求出f（x）的单调递增区间．
（2）f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]ex，由f′（x）=0，得x=-2，或x=-a，列表讨论，能求出a的值．
（2）f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]ex，由f′（x）=0，得x=-2，或x=-a，列表讨论，能求出a的值．
解答：
解：（1）当a=1时，f（x）=（x2+x+1）ex，
∴f′（x）=（x2+3x+2）ex，
由f′（x）≥0，得x≤-2，或x≥-1，
∴f（x）的增区间为（-∞，-2]，[-1，+∞）．
（2）f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]ex，
由f′（x）=0，得x=-2，或x=-a，
列表讨论，得：
∴x=-2时，f（x）取得极大值，
又f（-2）=（4-a）•e-2，f（x）的极大值是6•e-2，
∴（4-a）•e-2=6•e-2，解得a=-2．
∴a的值为-2．
∴f′（x）=（x2+3x+2）ex，
由f′（x）≥0，得x≤-2，或x≥-1，
∴f（x）的增区间为（-∞，-2]，[-1，+∞）．
（2）f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]ex，
由f′（x）=0，得x=-2，或x=-a，
列表讨论，得：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，-a） | -a | （-a，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
又f（-2）=（4-a）•e-2，f（x）的极大值是6•e-2，
∴（4-a）•e-2=6•e-2，解得a=-2．
∴a的值为-2．
点评：本题考查函数单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
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