Question

已知函数f（x）=ax³-3x．
（1）当a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x．利用导数的运算法则可得f′（x），令f′（x）=0，解得x=±1．利用导数与函数单调性的关系列出表格即可得出．
（2）f′（x）=3ax²-3．对a分类讨论①当a≤0时，f′（x）≤0，可得函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，即可得出当x=2时f（x）取得最小值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=±

1

a

．对a分以下三种情况讨论：当2≤

1

a

时；当1＜

1

a

＜2时；当

1

a

≤1时．研究函数f（x）的单调性即可得出．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x．∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），令f′（x）=0，解得x=±1．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∴f（x）_极大值=f（-1）=2，f（x）_极小值=f（1）=-2．
（2）f′（x）=3ax²-3．
①当a≤0时，f′（x）≤0，此时函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合a≤0，应舍去；
②当a＞0时，令f′(x)=3a(x+

1

a

)(x-

1

a

)=0，解得x=±

1

a

．
当2≤

1

a

时，即0＜a≤

1

4

时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=8a-6=4，
解得a=

5

4

，不符合0＜a≤

1

4

时，应舍去；
当1＜

1

a

＜2时，即

1

4

＜a＜1时，f（x）在区间[1，

1

a

]单调递减，在区间[

1

a

，2]单调递增，
∴f(x)min=f(

1

a

)=-

2

a

=4，无解，应舍去；
当

1

a

≤1时，即a≥1时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=a-3=4，解得a=7＞1，符合题意．
综上可知：实数a的值为7．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值基本方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．