Question

7．已知α为第四象限角且$\sqrt{1-sinα}$+$\sqrt{1+sinα}$=$\sqrt{3}$，则sin（$\frac{π}{2}$+α）•cos（$\frac{π}{2}$+α）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 对$\sqrt{1-sinα}$+$\sqrt{1+sinα}$=$\sqrt{3}$两边平方化简得出cosα，利用α的象限得出sinα，再利用诱导公式化简得出答案．

解答 解：∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0．
∵$\sqrt{1-sinα}$+$\sqrt{1+sinα}$=$\sqrt{3}$，∴1-sinα+1+sinα+2$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=3，
即2+2cosα=3，
∴cosα=$\frac{1}{2}$，sinα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴sin（$\frac{π}{2}$+α）•cos（$\frac{π}{2}$+α）=cosα•（-sinα）=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，属于中档题．